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仅从“平行”角度,让问题更一般化|提供十几种解题思路——探究2021年福州市九下质检第24题(倒二第3问)

永泰一中张祖冬 初中数学延伸课堂 2022-07-16
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说明:本文通过添加平行线,通过相似或平行线分线段成比例的定理的角度,探究2021年福州九下质检的第24题的第3小题的不同解法(提供12种解法),这种思路与解题技巧,本公众号已有多篇文章发布.有兴趣的朋友,可点击的文后相关文章链接阅读。

[视频|九下质检]|2021年福建福州九下质检-全卷解析
【2021·九下福州】


【图文解析】本题含有特殊角,且易得到相似,各种解法均可实现。本文仅从“平行”的角度探究。(注:本题的解题思路和技巧,四年前的公众号文章已有类似题解析,《尖子生之路》九年的相似章节中也有专门的小专题篇幅)(下列给出的各种图解不按难易顺序)
【法一】

【法二】

【法三】

(压轴提升必备1)

【法四】

【法五】



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【法六】

【法七】

(压轴提升必备2)

【法八】

【法九】

【法十】

【法十一】

【法十二】

【法十三】再来一个,仅提供辅助线,……,试试看

……
其实仅“平行”角度考虑还不止这些解法……
反思:(1)本题不论是改编与拓展方面,均较易做到:甚至可以改的面目全非!(2)本题的所有条件均一般化,也均在不同的背景下.(3)本题中的条件均可改为非同类条件,或非特殊条件……以下的成题,也是之前发布过的文章。


【2020·杭州】如图,已知AC,BD为⊙O的两条直径,连接AB,BC,OE⊥AB于点E,点F是半径OC的中点,连接EF.(1)设⊙O的半径为1,若∠BAC=30°,求线段EF的长;(2)连接BF,DF,设OB与EF交于点P,①求证:PE=PF;②若DF=EF,求∠BAC的度数.


【图文解析】(请打开下面链接阅读)
2020年浙江杭州中考第23题(倒一)解析(圆与相似)|多种解法与不同背景下的延伸与解析

九下尖子生培优系列(78) ——相似(3)

该篇文章的试题与解析如下:

例题】如图,△ABC中,D在BC上,F是AD的中点,连CF并延长交AB于E,已知CD/BD=n,求AE:BE的值.


【解析】本题有超过12种以上的解法(均类似),过图中任意点作任意一条线段的平行线均可求出(均根据平行线分线段成比例定理),只是计算有繁有简,下面仅提供五种常用的解法。为了书写方便,由CD/BD=n不妨设BD=1,则CD=n.

法一:过F作BC的平行线交AB于M,如下图示,不难证得M是AB的中点.

从而AE=AM-ME=2nt,因此AE:BE=2nt:2(1+n)t=n/(1+n).
法二:过D点作DM∥AB交CE于M,如下图示,得:法三:过D点作DM∥CE交AB于M,如下图示,得:


法四:过A点作AM∥CF交BC的延长线于M,如下图示,得:


法五:过F点作FM∥AB交BC于M,如下图示,得:


【反思】本题的所有解法的本质都是利用“平行线分线段成比例定理”的相关知识. 练习】如图,△ABC中,D在BC的反向延长线上,F在AD上,且AF:FD=2:1,连CF并延长交AB于E,已知CD:BD=3:1,求AE:BE的值.解析与例题类似,同样有多种解法,仅以一种解法解析.由CD:BD=3:1,可设BD=a,则CD=3a,BC=2a.过B点作BM∥AD交CF于M点,则有△BCM∽△DCF,再设BM=t,不难得到DF=1.5t.如下图示:



以下两篇文章为不同背景下的简单变式与延伸,发布在之前的本公众号文章中,原文章标题与链接如下:

2017-2018年度福建福州九上质检第16题解析

2018年福州屏东与泉七九下质检(一)联考倒二


试题如下:

2017-2018·福州九上质检第16题如图,在△ABC中,AB:AC=7:3,∠BAC的平分线交BC于点E,过点B作AE的垂线段,垂足为D,则AE:ED=__________.


【图文解析】
思路分析:从已知∠BAC的平分线和AE⊥BD这两个条件入手,不难得到下列常用辅助线(补形,常用,务必熟练掌握),如下图示:      相当于BD:FD=1:1,AC:CF=3:4,由此可以得到至少12种以上的解法,即过上图中的任意一点添加任意直线的平行线(含所添加的点或线),再根据“平行线分线段成比例“定理,均可求出,之前本公众号九下尖子生培优系列(78)——相似(3)已经做详细解析(可点击标题打开).此处只提供过D点作平行线的两种最简便的解法, 如下图示:




【反思】典型且常用的试题,充分利用“平行线分线段成比例“定理,务必熟练掌握并体会解题思路。


(2018年福州屏东与泉七九下质检(一)联考倒二)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=4,动点Q在边AB上,连接CQ,将△BQC沿CQ所在的直线对折得到△CQN,延长QN交直线CD于点M.(1)当BQ=1时,求DM的长;(2)过点D作DP⊥CQ于点E,交直线BC于点P,直线QN与直线DP交于点F.当DF/DE=1/3时,求BQ的长.


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